Pembahasan contoh soal rotasi transformasi geometri matematika SMA

Nomor 1

Titik A(1 , 2) diputar 30 derajat berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam terhadap titik asal O(0 , 0). Bayangan titik A oleh rotasi tersebut adalah ....

A. A'(1/2√3 - 1 , 1/2 + √3)

B. A'(1/2√3 + 1 , 1/2 + √3)

C. A'(1/2√3 - 1 , 1/2 - √3)

D. A'(1/2√3 + 1 , 1/2 - √3)

E. A'(1/2√3 - 1 , √3)

Pembahasan

Tentukan bayangan titik A:

x' = x cos α - y sin α

x' = 1 cos 30 - 2 sin 30

x' = 1/2√3 - 1

Bayangan titik y:

y' = x sin α + y cos α

y' = 1 sin 30 + 2 cos 30

y' = 1/2 + √3

Jadi bayangan A = A'(1/2√3 - 1 , 1/2 + √3)

Jawaban: A

Nomor 2

Segitiga ABC dengan A(4 , 0), B(0 , -2), C(-2 , -4) diputar 60 derajat berlawanan arah putaran jarum jam terhadap titik pusat O(0 , 0). Hasil transformasi tersebut adalah...

A. A'(2 , 2), B'(√3 , -1), C'(-1 + 2√3 , -√3 - 2)

B. A'(2 , 2√3), B'(√3 , 1), C'(-1 + 2√3 , -√3 - 2)

C. A'(2 , 2√3), B'(√3 , -1), C'(1 + 2√3 , -√3 - 2)

D. A'(2 , 2√3), B'(√3 , -1), C'(-1 + 2√3 , √3 - 2)

E. A'(2 , 2√3), B'(√3 , -1), C'(-1 + 2√3 , -√3 - 2)

Pembahasan

Tentukan bayangan titik A(4 , 0) (cara seperti nomor 1)

x' = x cos α - y sin α = 4 cos 60 - 0 sin 60 = 2

y' = x sin α + y cos α = 4 sin 60 + 0 cos 60 = 2√3

Jadi A'(2 , 2√3)

Bayangan titik B(0 , -2):

x' = x cos α - y sin α = 0 cos 60 - (-2) sin 60 = √3

y' = x sin α + y cos α = 0 sin 60 + (-2) cos 60 = -1

Jadi B'(√3 , -1)

Bayangan titik C(-2 , -4)

x' = x cos α - y sin α = -2 cos 60 - (-4) sin 60 = -1 + 2√3

y' = x sin α + y cos α = -2 sin 60 + (-4) cos 60 = -√3 - 2

Jadi C'(-1 + 2√3 , -√3 - 2)

Jadi bayangan segitiga ABC adalah A'(2 , 2√3), B'(√3 , -1), C'(-1 + 2√3 , -√3 - 2)

Jawaban: E

Nomor 3

Titik A(2 , 3) diputar terhadap titik B(-1 , -2) dengan arah berlawanan putaran jarum jam sebesar 45 derajat. Bayangan titik A adalah...

A. A'(√2 - 1 , 4√2 -2)

B. A'(-√2 + 1 , 4√2 -2)

C. A'(-√2 - 1 , 4√2 + 2)

D. A'(-√2 + 1 , 4√2 -2)

E. A'(-√2 - 1 , 4√2 -2)

Pembahasan

Karena diputar bukan terhadap titik asal maka cara menentukan bayangannya sebagai berikut:

x' - a = (x - a) cos α - (y - b) sin α

x' - (-1) = (2 - (-1)) cos 45 - (3 - (-2)) sin 45

x' = 3/2 √2 - 5/2√2 - 1 = -√2 - 1 - 5/2√2 - 1 = -√2 - 1

y' - b = (x - a) sin α + (y - b) cos α

y' - (-2) = (2 - (-1)) sin 45 + (3 - (-2)) cos 45

y' = 3/2 √2 + 5/2√2 - 2 = 4√2 -2

Jadi A'(-√2 - 1 , 4√2 -2)

Jawaban: E 

Nomor 4

Sebuah segitiga ABC dengan A(1 , 0), B(4 , 0), C(3 , 4) diputar berlawanan jarum jam sebesar 180 derajat dengan pusat P(a , b). Apabila diperoleh bayangan segitiga A'B'C' dengan A'(-1 , -2), B'(r , s), C'(3 , 2), maka koordinat B' adalah.....

A. B'(-4 , -2)

B. B'(4 , -2)

C. B'(-4 , 2)

D. B'(4 , 2)

E. B'(-2 , -4)

Pembahasan

Tentukan terlebih dahulu pusat perputaran P(a , b) dengan menggunakan bayangan A'(-1 , -2):

x' - a = (x - a) cos α - (y - b) sin α

-1 - a = (1 - a) cos 180 - (0 - b) sin 180

-1 - a = (1 - a) -1 - (-b) 0

-1 - a = -1 + a

0 = 2a

a = 0/2 = 0

y' - b = (x - a) sin α + (y - b) cos α

-2 - b = (1 - a) sin 180 + (0 - b) cos 180

-2 - b = (1 - a) 0  + (-b) -1

-2 - b = b

-2 = 2b

b = -2 / 2 = -1

Jadi titik pusat P(0 , -1)

Menentukan koordinat B' dengan B(4 , 0)

x' - a = (x - a) cos α - (y - b) sin α

x' - 0 = (4 - 0) cos 180 - (0 - (-1)) sin 180

x' = 4 . -1 - 1 . 0

x' = -4

y' - b = (x - a) sin α + (y - b) cos α

y' - (-1) = (4 - 0) sin 180 + (0 - (-1)) cos 180

y' + 1 = 4 . 0 + 1 . -1

y' = -1 - 1 = -2

Jadi koordinat B'(-4 , -2)

Jawaban: A

Tweet