Pembahasan contoh soal proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain

Nomor 1
Diketahui vektor u = i + 2j - 3 k dan v = 2i - 3j - 6 k. Proyeksi skalar dari u pada v adalah...
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

Pembahasan
Hitung terlebih dahulu |v|
|v| = √(2² + (- 3)² + (- 6)²) = √4 + 9 + 36 = √49 = 7
Menghitung u . v
u . v = 1 . 2 + 2 . - 3 + - 3 . - 6 = 2 - 6 + 18 = 14
Maka proyeksi skalar u pada v = u . v / |v| = 14 / 7 = 2
Jawaban: B

Nomor 2
Diketahui vektor u = i + 2j - 3 k dan v = 2i - 3j - 6 k. Proyeksi vektor u pada v adalah...
A. 4i + 6j - 12k
B. 4i - 6j + 12k
C. 4i - 6j - 12k
D. 4i + 6j + 12k
E. 2i - 3j - 6k

Pembahasan
Hitung terlebih dahulu |v|
|v| = √(2² + (- 3)² + (- 6)²) = √4 + 9 + 36 = √49 = 7
Menghitung u . v
u . v = 1 . 2 + 2 . - 3 + - 3 . - 6 = 2 - 6 + 18 = 14
Proyeksi vektor u pada v = (u . v) v / |v|² = 14 / 7 v = 2 (2i - 3j - 6k) = 4i - 6j - 12k
Jawaban: C

Nomor 3
Diketahui vektor u = i + 2j - 3 k dan v = 2i - mj - 6 k. Jika panjang proyeksi u pada v sama dengan 1/2 panjang v, maka salah satu proyeksi vektor u pada v adalah....
A. 20/49 i - 120/49 k
B. 20/49 i + 120/49 k
C. 20/7 i - 120/49 k
D. 20/49 i - 120/7 k
E. 20/7 i - 120/7 k

Pembahasan
Hitung terlebih dahulu |v|
|v| = √(2² + (- 3)² + (- 6)²) = √4 + 9 + 36 = √49 = 7
u . v / |v| = 1/2 |v|
2 . u . v = |v|²
2 (1 . 2 - 2 . m + (- 3 . - 6) = (√2² + (-m)² + (-6)²)²
2 (2 - 2m + 18) = 4 + m² + 36
4 - 4m + 36 = 40 + m²
m² + 4m + 40 - 40 = 0
m² + 4m = 0
m = 0 atau m = - 4
Jika m = 0 maka v = 2i - 6k
Jika m = - 4 maka v = 2i - 4j - 6k
Untuk v = 2i - 6k, maka proyeksi vektor u pada v = (u . v) v / |v|² = (1 . 2 + 2 . 0 + (- 3 . - 6)) (2i - 6k) / 49
= 20 (2i - 6k) / 49 = 20i - 120k / 49 = 20/49 i - 120/49 k

Untuk v = 2i - 4j - 6k, proyeksi vektor u pada v =  (u . v) v / |v|² = (1 . 2 + 2 . -4 + (- 3 . - 6)) (2i - 4j - 6k) / 49
= 12 (2i - 4j - 6k) / 49 = 24i - 48 j - 72k / 49 = 24/49 i - 48/49 j - 72/49 k
Jawaban: A

Nomor 4
Diketahui vektor-vektor sebagai berikut:


Proyeksi skalar a pada (b + c) adalah....
A. 2/5
B. 3/5
C. 4/5
D. 7/5
E. 9/5

Pembahasan
Hitung terlebih dahulu b + c

Menghitung |b + c|
|b + c| = √(-4)² + (3)² + 0² = √16 + 9 = 5
Menghitung a . (b + c)
a . (b + c) = (1 . -4) + (2 . 3) + 3 . 0 = 2
Maka proyeksi skalar a pada (b + c) = a . (b + c) / |b + c| = 2/5
Jawaban: A

Nomor 5
Diketahui A(1, 2, 3), B(2, 3, 4) dan C(3, 4, 5). Jika AC mewakili a dan AB mewakili b maka nilai dari |a|, |b| dan a . b berturut-turut adalah...
A. √3, 2√3, 6
B. √3, √3, 6
C. √3. √3, √3
D. √3, √3, √6
E. √6, √6, √6

Pembahasan
a = AC = C - A = (3, 4, 5) - (1, 2, 3) = (2, 2, 2)
b = AB = B - A = (2, 3, 4) - (1, 2, 3) = (1, 1, 1)
Sehingga
|a| = √(1)² + (1)² + (1)² = √3
|b| = √(2)² + (2)² + (2)² = √12 = 2√3
a . b = (1, 1, 1) . (2, 2, 2) = 2 + 2 + 2 = 6
Jawaban: A

Tweet